Densidad, porosidad y permeabilidad de las rocas

Las propiedades de las rocas dependen en gran medida de los elementos que las componen, los procesos que le dieron origen y la disposición de las partículas constituyentes, entre otras variables.

Entre las propiedades más destacadas por su importancia geofísica, se encuentran:

• Densidad
• Porosidad
• Permeabilidad

Ello se debe a que cantidad de hidrocarburos que pueden contener las rocas está determinada por los espacios disponibles entre ellas, aunado a la capacidad de los fluidos para desplazarse en el sustrato rocoso.

La piedra pómez es capaz de flotar en el agua debido a que su densidad aparente es cerca de la mitad de la del agua. Fuente: Wikimedia Commons.

Densidad y peso específico

Se define como el cociente entre la masa M y el volumen V de una roca. Por lo general, se designa con la letra griega ρ:

ρ = masa / volumen

ρ = m /V

 En el Sistema Internacional, la unidad para la densidad es kg/m³, pero suele utilizarse también g/cm³. La densidad del agua se toma como g/cm³ y sirve como patrón de referencia para las densidades de otras sustancias. Por ejemplo, una roca cuya densidad sea 2.5 g/cm³ es 2.5 veces más densa que el agua.

La densidad depende en gran medida de la composición de la roca, pero también de la disposición de los granos que la conforman. Como estos tienen formas irregulares, al agruparse normalmente dejarán pequeños espacios vacíos, lo cual influye en el valor de la densidad.

Por ejemplo, se sabe que la arena se compone de fragmentos de ciertos minerales, pero al tomar una muestra, su densidad resulta menor de lo esperado, debido a la presencia de estos poros.

Más aún, los poros o espacios podrían estar llenos de algún fluido, contribuyendo a la disminución de la densidad.

Si bien la densidad es una característica importante de las rocas, ya que no depende del tamaño de la muestra, su valor no se mantiene constante. Es sabido que se incrementa con la profundidad debido a la compactación causada la presión y también por la cementación que ocurre con el tiempo.

Alternativamente, al comparar con el volumen de la roca puede utilizarse el peso de la roca en vez de la masa. En ese caso, se habla del peso específico y se denota por la letra griega γ:

γ = peso / volumen

γ = mg /V

En el Sistema Internacional, la unidad para el peso específico es N/m³, ya que el peso es una fuerza y se mide en newton (N).

Ambas magnitudes, densidad y peso específico, están relacionadas mediante el valor de g, la aceleración de la gravedad:

γ = mg/V = ρg

Muchas veces se emplean indistintamente la densidad y el peso específico, tratándolas como si fueran la misma magnitud, pero conviene recordar que la masa está relacionada con la cantidad de materia, mientras que el peso lo está con la fuerza de gravedad. Por lo tanto, densidad y peso específico son magnitudes diferentes.

Densidad aparente

En la definición anterior, no se hizo distinción alguna entre la parte sólida o grano de la roca y los espacios vacíos. Por este motivo, a la densidad calculada de esta manera se la conoce como densidad aparente. Su valor es menor que el de la densidad del grano, es decir, el mineral constituyente.

Una forma de medir la densidad aparente de una muestra es secándola previamente, para luego pesarla. El volumen se determina con el método de la probeta (basado en el principio de Arquímedes) si se trata de rocas de baja porosidad, en caso contrario, se utiliza la picnometría o el densitómetro de gases.

Porosidad

La porosidad de una roca es la fracción del volumen de espacio entre las partículas sólidas de la roca, respecto al volumen total de la roca. El espacio incluye toda clase de cavidades (poros, grietas, fracturas) entre las partículas, así como espacios inter e intra-cristalinos:

Como puede verse, la porosidad es adimensional, por el cociente entre dos volúmenes. Ahora bien, el volumen ocupado por los poros es la diferencia entre el volumen total y el volumen de las partículas sólida de la roca, es decir, el volumen de la matriz:

Obsérvese que la porosidad no indica nada acerca de la forma de los poros ni la manera en que están distribuidos dentro de la roca, pero se puede llegar a conocer mediante experimentos de porosimetría, ya sea de manera directa o indirecta, a través de su relación con otras propiedades.

Porosidad total y porosidad efectiva

La porosidad total es la porosidad tal como se definió anteriormente: la fracción del volumen aparente ocupada por el espacio poroso total.

Por su parte, la porosidad efectiva es la fracción del volumen ocupado por el espacio poroso interconectado, que será menor que la porosidad total.

Permeabilidad

Esta magnitud mide la facilidad con la que un fluido se desplaza por los poros de la roca. Como depende no solo del tamaño de los poros, sino de lo bien interconectados que estén, la permeabilidad está relacionada con la porosidad efectiva.

La permeabilidad también se ve afectada por la compactación y la cementación, por lo que la profundidad tiende a disminuir la permeabilidad.

Matemáticamente, la permeabilidad k se determina a través de la ecuación de Darcy, la cual establece que la velocidad media u del fluido en la roca es:

• Directamente proporcional a la permeabilidad íntrinseca k y al gradiente hidráulico, siendo este la variación diferencial de la presión (proporcional a la altura en el manómetro) respecto a la dirección en que se mueve el fluido (dp/dl).

• Inversamente proporcional a la viscosidad del fluido μ:

En forma matemática, resulta así:

La unidad de la permeabilidad utilizada en la industria es el darcy, cuando el gradiente hidráulico se mide en atmósfera/centímetro y la viscosidad en centipoise. 

Tiene sentido pensar que la velocidad media sea inversamente proporcional a la viscosidad, pues un fluido muy viscoso se moverá en el medio con más lentitud que, digamos, el agua. 

También es frecuente encontrar la ecuación de Darcy en términos del caudal Q y el área de la sección transversal con A. En ese caso, llamando I al gradiente hidráulico, resulta:

Donde la constante de proporcionalidad es el coeficiente de permeabilidad K, relacionado con la permeabilidad intrínseca k mediante:

Normalmente, la permeabilidad se encuentra de manera indirecta a partir de la porosidad, la saturación de fluidos, etc., usando para ello muestras extraídas del suelo que posteriormente son analizadas en el laboratorio.

Los resultados de estos ensayos en los que se determinan los valores de la densidad, porosidad y permeabilidad, junto a otras magnitudes de interés como la resistividad, dirán si un determinado pozo petrolero es o no es de interés para la producción. 

Por F. Zapata

Ejercicio resuelto de peso específico

 

Mecánica de fluidos - Presión Hidrostática

Peso Específico - Primer Parcial Ejercicio 3

Ejercicio resuelto de Principio de Pascal

 Mecánica de Fluidos - Principio de Pascal- Presión Manométrica

Primer Parcial - Ejercicio 1

Ejercicio resuelto de Principio de Arquímedes

 Mecánica de Fluidos - Densidad - Principio de Arquímedes - Primer Parcial - Ejercicio 2

Ejercicio resuelto de viscosidad entre superficies

 Mecánica de Fluidos - Primer Parcial - Ejercicio 4

El problema de la esfera flotante, resuelto paso a paso

 

Enunciado

 Se tiene una esfera uniforme, en reposo parcialmente sumergida en agua, como se muestra en la figura. ¿Cuál será la densidad de la esfera?

Solución

Para calcular la densidad ρ_e de la esfera, se emplea la ecuación:

Donde m es la masa y V_T es el volumen de la esfera completa.

Cálculo del volumen total de la esfera V_T

Este volumen se calcula fácilmente mediante:

El radio R es conocido a partir de la figura, ya que es la mitad del diámetro D = 0.800 + 0.400 m = 1.200 m, entonces el radio es R = 0.600 m.

Por lo tanto, el volumen V_T de la esfera es:

Aplicación del principio de Arquímedes

Falta conocer la masa. Al igual que en el problema del tronco flotante, para conocer este dato se requiere emplear el principio de Arquímedes. Ya que la esfera flota parcialmente en el agua, su densidad debe ser algo menor que la de esta.

El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas a las que está sometida la esfera: el peso W y el empuje B, ambas fuerzas son verticales, por lo que únicamente se necesita la sumatoria de fuerzas a lo largo del eje y:

∑ F_y = B – W = 0

B = W = mg

El principio de Arquímedes establece que la magnitud del empuje es igual al peso del volumen de fluido desplazado cuando el objeto se sumerge:

B = ρ_f∙V_s∙g

Donde:

- ρ_f es la densidad del fluido, en este caso agua, cuyo valor es ρ_f = 1000 kg/m³

- V_s es el volumen sumergido.

Igualando:

ρ_f∙V_s∙g = mg

Por lo tanto:

m = ρ_f∙V_s

Entonces, para calcular la masa de la esfera se necesita el volumen sumergido V_s, pero ya no se puede emplear la fórmula del volumen utilizada al comienzo, puesto que esta es válida para la esfera completa, en cambio, se usará el volumen de un casquete esférico V_c, cuya expresión viene dada por:

Al final del artículo está el video donde se explica detalladamente cómo calcular este volumen.

En la fórmula anterior, r y h representan, respectivamente, el radio de la esfera y la altura del casquete, según la figura que se muestra:

Volumen del casquete esférico. Fuente: Wikimedia Commons.

Es importante destacar que el volumen que se calcula de esta manera corresponde al casquete superior de la figura, es decir, la porción de la esfera que estaría fuera del fluido.

El volumen que se necesita es el volumen sumergido V_s, el cual se calcula restando del volumen total (se calculó al comienzo) el volumen del casquete V_C, en otras palabras:

Vs = V_T − V_C

Cálculo del volumen del casquete V_C

De acuerdo a los datos suministrados en la figura del enunciado:

h = 0.400 m

r = 0.600 m

Por lo tanto, el volumen del casquete es:

Cálculo del volumen sumergido V_S

Entonces, el volumen sumergido es:

Vs = V_T − V_C = (0.905 – 0.235) m³ = 0.670 m³

Cálculo de la masa m de la esfera

Y ahora sí, la masa de la esfera es:

m = ρ_f∙V_s = 1000 kg/m³ × 0.670 m³ = 670 kg

Cálculo de la densidad ρ de la esfera

Entonces, la densidad de la esfera es:

Tal como se dijo al principio, es menor que la del agua, por eso la esfera es capaz de flotar semisumergida.

Para quienes deseen conocer como se obtiene la fórmula que da el volumen de un casquete esférico, les sugiero el siguiente video:

Volumen de un casquete esférico: método de los discos, por R. Perez.

El problema de la corona del rey Hierón de Siracusa, paso a paso

 

Existen varias versiones de este problema, pero todas comienzan cuando el rey Hierón de Siracusa, una colonia griega ubicada en la isla de Sicilia unos 300 años antes de Cristo, mandó a elaborar una corona nueva con un conocido orfebre de la ciudad.

Naturalmente, el soberano le entregó al orfebre una cantidad de oro suficiente para fabricar la corona.

Cuando el artesano le trajo al rey su corona nueva, de inmediato este comenzó a sospechar que el orfebre le había engañado, mezclando el oro con algún otro metal menos noble y más ligero, pero la corona le gustaba y no quería destruirla, así que… ¿cómo confirmaría sus sospechas sin dañarla?

Conociendo la fama de sabio que tenía Arquímedes (287-212 a.C.), Hierón le encargó la tarea de determinar si la corona era o no de puro, sin dañarla. 

Para llevar a cabo la misión, el sabio tuvo que meditar largamente, hasta que un día, mientras tomaba un baño, se dio cuenta de que se sentía mucho más liviano cuando estaba metido en la tina que cuando estaba fuera de ella. Entonces salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa, gritando eureka, que en griego significa lo encontré.

Arquímedes se dio cuenta de que se sentía más liviano cuando estaba sumergido en la bañera, ello se debe a que el agua ejerce una fuerza vertical que contrarresta el peso. Fuente: Wannapic.

Arquímedes razonó que si él se sentía más liviano cuando estaba sumergido, la corona también, por lo tanto, debía tener dos pesos diferentes: uno cuando estaba en el aire y otro cuando estaba sumergida en agua.

Supóngase que cuando Arquímedes pesó la corona en el aire encontró un valor de 22 N y estando sumergida, el valor era un poco menor: 20 N. Con estos datos, más las densidades del oro y el agua, ¿estaba hecha de oro puro la corona sí o no?

Respuesta

Son conocidas las densidades del oro y el agua:

• ρ_oro = 1.93 x 10⁴ kg/m³ = 19300 kg/m³
• ρ_agua = 1.00 x 10³ kg/m³ = 1000 kg/m³

Para decidir si la corona es de oro o no, hay que determinar su densidad y compararla con la densidad conocida del oro. Si son parecidas, seguramente la corona es de oro, pero si son muy diferentes, probablemente el orfebre haya fabricado la corona con alguna aleación de otros metales, normalmente con menor densidad, como la plata, por ejemplo.

 La densidad es la relación existente entre la masa y el peso de un objeto:

La masa de la corona se conoce rápidamente, pues Arquímedes la pesó en el aire:

 W = Mg

El cálculo lleva a:

M = W/g = 22 N/9.8 m/s² = 2.2449 kg

 Falta conocer el volumen de la corona, para lo cual se la pesa sumergida en agua. 

El peso aparente del objeto sumergido en agua en menor que el peso en el aire. Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/pbuoy.html

El diagrama de cuerpo libre de la corona sumergida es el siguiente:

Diagrama de cuerpo libre de la corona del rey Hieron sumergida en agua. Fuente: F. Zapata.

Las fuerzas que actúan sobre la corona estando sumergida son: 

• Su peso W, dirigido verticalmente hacia abajo y ejercido por la Tierra.
• El empuje B, ejercido por el agua y dirigido verticalmente hacia arriba
• La tensión T en la cuerda que sujeta a la corona, también vertical y hacia arriba, y es equivalente al peso sumergido de la corona, o peso aparente.

Dado que las fuerzas son verticales y la corona está en equilibrio estático, al aplicar la segunda ley de Newton, queda:

∑ F_y = T + B – W = 0

Se deduce que:

B = W – T

Es decir, el empuje es igual a la diferencia entre el peso real (en aire) y el peso aparente (sumergido). Ahora bien, la magnitud de la fuerza del empuje viene dada por la ecuación:

B = ρ_agua ∙V_corona ∙ g

Al sustituir esto en el despeje de B: 

W – T = ρ_agua ∙V_corona ∙ g

Y ya se puede despejar y calcular el volumen de la corona, ya que la tensión T equivale numéricamente al peso sumergido, el cual se conoce a partir del enunciado:

Conocido este valor, se puede calcular la densidad de la corona ρ_corona a ver si coincide o al menos es lo bastante cercana a la del oro:

Sustituyendo en la densidad el valor M = 2.2449 kg previamente calculado:

ρ_corona = 2.2449 kg / 0.0002041 m³ = 11000 kg/ m³

Como el resultado es bastante menor que la densidad del oro, se deduce que el orfebre seguramente engañó al rey, ya que la corona no puede ser de oro puro.

¿Y qué fue del orfebre deshonesto? Aparentemente fue ejecutado por tratar de robar al rey Hierón.

Por F. Zapata

 

 

 

El principio de Arquímedes

Cuando se intenta sumergir con la mano un objeto en un fluido en reposo, por ejemplo en agua, se siente una resistencia, como si una fuerza proveniente del fluido mismo empujara el objeto hacia arriba. También se sabe que, dejado en libertad, el cuerpo puede flotar completamente, sumergirse de forma parcial o hundirse del todo. 

Todo esto se debe a que un fluido, a través de la presión, ejerce una fuerza resultante sobre el objeto, dirigida verticalmente hacia arriba, llamada flotación o empuje hidrostático, equivalente al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Por ello una persona sumergida en una piscina, siente la sensación de ser más liviana, de haber perdido peso.

Figura 1.- Aunque la mayor parte del iceberg está sumergido, una pequeña parte flota sobre el agua del mar, puesto que la densidad del hielo es menor, lo cual se explica gracias al principio de Arquímedes. Fuente: Pixabay.

Esto es lo que establece el principio de Arquímedes:

 “Un cuerpo sumergido en un fluido en reposo, experimenta una fuerza ascensional equivalente al peso del fluido desalojado”

Este fluido desalojado o desplazado, hace referencia al hecho de que, cuando se sumerge un objeto en el seno de un fluido, evidentemente hay que hacer “espacio” para él, por eso el agua de una tina completamente llena se derrama cuando alguien se mete dentro.

Si a dicha fuerza ascencional se la llama B (por “buoyancy” en inglés) el principio de Arquímedes establece que su magnitud B viene dada por:

B = ρ_fluido ∙V∙g

Donde ρ_fluido es la densidad del fluido en cuestión, que puede ser incluso aire, V es el volumen del fluido desplazado. Por último, g es el valor de la aceleración de la gravedad.

Figura 2.- Un cuerpo sumergido en un fluido recibe fuerzas en todas direcciones, a causa de la presión que ejerce el fluido sobre él. Fuente: F. Zapata.

Las unidades en el sistema internacional de unidades SI para el empuje son las mismas que para cualquier otra fuerza, es decir, el newton, abreviado N.

Al ser el empuje una fuerza, además de la magnitud dada aquí, también tiene dirección vertical y sentido opuesto al peso, es decir, se trata de una fuerza ascendente. Esto es así debido a que las componentes horizontales de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto se cancelan por pares, quedando solamente las componentes verticales, las cuales dependen de la profundidad a la que actúan.

Demostración

Supóngase un pequeño disco hecho del mismo fluido y separado del resto, mostrado en color rosa en la figura de abajo. La fuerza ascensional que ejerce el fluido circundante sobre este disco es la misma que ejercería sobre un disco hecho de cualquier otro material a igual profundidad, pues la forma es la misma.

Figura 3.- Fuerzas que la masa de fluido ejerce sobre una pequeña porción de fluido con forma de disco, ubicado a cierta profundidad. Fuente: modificado de Tippens, P. Física.

Ahora conviene recordar que la presión se debe únicamente a las fuerzas perpendiculares a las superficies, por lo tanto, las componentes horizontales se cancelan, por tener igual magnitud, pero sentidos contrarios. En cuanto a las fuerzas verticales, sí tienen diferentes magnitudes, pues como se recordará, la presión depende del valor de h, es decir, de la profundidad. Esas son las fuerzas que interesan, pues no se cancelan.

La presión sobre la cara superior de área A es:

P₁ = P_o + ρ_fluido ∙g∙h₁ 

Donde P_o es la presión atmosférica, mientras que la presión sobre la cara inferior es:

P₂ = P_o + ρ_fluido ∙g∙h₂

La diferencia de presiones es:

ΔP = P₂ − P₁ = (P_o + ρ_fluido ∙g∙h₂) − (P_o + ρ_fluido ∙g∙h₁) = ρ_fluido ∙g∙ (h₂ − h₁) = ρ_fluido ∙g∙ H

La cual da lugar a la fuerza de empuje, cuya magnitud es B = ΔP∙A, ya que la presión se define como fuerza por unidad de área. Entonces:

B = ρ_fluido ∙g∙ H∙A

Pero el volumen V del pequeño disco es el producto de su altura H por el área A de la tapa:

V = H∙A

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza ascensional o empuje B es: 

B = ρ_fluido ∙g∙V

Ahora bien, el disco está en equilibrio estático, por lo tanto, la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él es nula. Aparte de B, la otra fuerza que actúa es el peso del disco, llamado W y cuya magnitud es:

W = mg

Siendo m la masa del disco.

Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre de un pequeño disco de fluido. Fuente: modificado de Tippens, P. Física.

Aplicando la segunda ley de Newton:

∑ F_y = B – W = 0

Queda:

B = W

ρ_fluido ∙g∙V = mg 

Y esta última igualdad es precisamente la expresión matemática del principio de Arquímedes, que establece que la fuerza ascensional o empuje, equivale en magnitud al peso del fluido desplazado.

Ejemplo

Se tienen dos recipientes idénticos, llenos de agua hasta el borde. En uno de los recipientes se sumerge una tuerca. ¿Cuál de los dos recipientes pesa más?

Respuesta

Los dos recipientes pesan igual, ya que la tuerca tuvo que desplazar un volumen de agua para ubicarse dentro del recipiente. Dicho volumen de agua se derramó del recipiente y, de acuerdo al principio de Arquímedes, tiene el mismo peso que la tuerca.

Flotabilidad y densidad

Un bloque de madera de cierto volumen se las arregla para flotar en el agua, pero un bloque idéntico hecho de acero, plomo o algún otro material pesado, irremediablemente se hunde. Para saber si un cuerpo se hunde o no en un determinado fluido, hay que conocer la densidad, tanto del cuerpo como la del fluido. Se supondrá que una y otra son constantes.

Si el peso de un objeto de masa m_o, volumen V_o y densidad ρ_o es:

W = m_o∙g = ρ_oV_o g

Cuando está completamente sumergido, el principio de Arquímedes afirma que el objeto desplaza un volumen de fluido cuyo peso equivale a la magnitud del empuje:

B = ρ_fV_f g

Pero, claro está, ambos volúmenes serán idénticos, V_o = V_f, ya que, como se ha dicho, el objeto está completamente sumergido.

Dividiendo término a término estas dos ecuaciones se obtiene:

 

Por lo tanto:

Pues bien, si ρ_o > ρ_f, el empuje es menor que el peso y el objeto se hunde, y si ρ_o < ρ_f , entonces el empuje es mayor que el peso y el objeto flota.

¿Y si las densidades son iguales? Entonces el objeto permanecerá en equilibrio a cualquier profundidad.

Ejemplo 2

¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg en reposo está sumergido bajo el agua de mar? Se suponen conocidas las densidades del hielo y la del agua de mar:

ρ_hielo = 920 kg/m³

ρ_{agua de mar} = 1030 kg/m³

Figura 5.- Sin importar la forma del iceberg, el principio de Arquímedes nos asegura que apenas el 11% del volumento total del iceberg es visible por encima del agua. Fuente: Pixabay.

Respuesta

El iceberg tiene un volumen total V_T, del cual hay una parte sumergida, denotado como V_s. Puesto que se encuentra en equilibrio estático:

B – W = 0

B = W = ρ_hielo V_T g

Donde V representa el volumen total del iceberg. Sustituyendo la expresión para el empuje:

B = ρ_aguaV_s g

Por lo tanto:

ρ_aguaV_s g = ρ_hielo V_T g

V_s / V_T = ρ_hielo / ρ_agua = 920 /1030 = 0.89

Por lo tanto:

V_s = 0.89 V_T

Se concluye que un 89% del volumen total del iceberg se encuentra sumergido, por lo tanto solo el 11% está sobre la superficie.